D2=1×214+1×160-1×134-1×168=72 D3=1×214-1×160=54 D4=1×134-1×168=-34 进而可求得各比较的平方和SS 3=D2/m∑C 式中的n为各处理的重复数,本例n=5。对第一个比较 (-352)2 (-352) s[42+(-1)2+(-1)2+(-1)2+(-13]5×205123904 同理可计算出SS2=259.20,SS3=291.60,SS4=115.60。计算结果列入表6-10中 这里注意到,SS1+SS2+Ss+SS4=1905.44,正是表6-9中处理间平方和SS。这也就是说, 利用上面的方法我们已将表69处理间具4个自由度的平方和再度分解为各具一个自由度的 4个正交比较的平方和。因此,得到单一自由度正交比较的方差分析表6-11 表6-11表6-8资料单一自由度正交比较方差分析 处理间 190544 476.36 不用药与用药 1239.04 1239.04 中药与西药 259.20 259.20 中药A2与中药A 291.60 291.60 21.01 西药A4与西药A l15.60 115.60 8.33 误差 277.60 13.88 总变异 2183.04 将表6-11中各个比较的均方与误差均方MS相比,得到F值。查F值表,d=1,=20 时,F0050120)=4.35,F01(120)=8.10。所以,在这一试验的上述4个比较差异都极显著。 正确进行单一自由度正交比较的关键是正确确定比较的内容和正确构造比较的正交系 数。在具体实施时应注意以下三个条件: (1)设有k个处理,正交比较的数目最多能安排k1个;若进行单一自由度正交比较 则比较数目必须为k1,以使每一比较占有且仅占有一个自由度。 2)每一比较的系数之和必须为零,即ΣC=0,以使每一比较都是均衡的 (3)任两个比较的相应系数乘积之和必须为零,即ΣCC=0,以保证SS的独立分解 对于条件(2),只要遵照上述确定比较项系数的四条规则即可。对于条件(3),主要是在 确定比较内容时,若某一处理(或处理组)已经和其余处理(或处理组)作过一次比较,则该处 理(或处理组)就不能再参加另外的比较。否则就会破坏ΣCC=0这一条件。只要同时满足了 (2),(3)两个条件,就能保证所实施的比较是正交的,因而也是独立的。若这样的比较有 k-1个,就是正确地进行了一次单一自由度的正交比较。 单一自由度正交比较的优点在于: (1)它能给人们解答有关处理效应的一些特殊重要的问题;处理有多少个自由度,就能 解答多少个独立的问题,不过这些问题应在试验设计时就要计划好。 (2)计算简单 3)对处理间平方和提供了一个有用的核对方法。即单一自由度的平方和累加起来应等
90 D2=1×214+1×160-1×134-1×168=72 D3=1×214-1×160=54 D4=1×134-1×168=-34 进而可求得各比较的平方和 SSi： = 2 2 / SSi Di n Ci (6-27) 式中的 n 为各处理的重复数，本例 n=5。对第一个比较： 1239.04 5 20 ( 352) 5[4 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ] ( 352) 2 2 2 2 2 2 2 1 = − = + − + − + − + − − S S = 同理可计算出 SS2=259.20，SS3=291.60,SS4=115.60。计算结果列入表 6-10 中。 这里注意到，SS1+SS2+SS3+SS4=1905.44，正是表 6-9 中处理间平方和 SSt。这也就是说， 利用上面的方法我们已将表6-9处理间具4个自由度的平方和再度分解为各具一个自由度的 4 个正交比较的平方和。因此，得到单一自由度正交比较的方差分析表 6-11。 表 6-11 表 6-8 资料单一自由度正交比较方差分析 变异来源 df SS MS F 处理间 4 1905.44 476.36 34.32** 不用药与用药 1 1239.04 1239.04 89.27** 中药与西药 1 259.20 259.20 18.67** 中药 A2 与中药 A3 1 291.60 291.60 21.01** 西药 A4 与西药 A5 1 115.60 115.60 8.33** 误 差 20 277.60 13.88 总变异 24 2183.04 将表 6-11 中各个比较的均方与误差均方 MSe相比，得到 F 值。查 F 值表，df1=1,df2=20 时，F0.05(1,20) =4.35，F0.01(1,20) =8.10。所以，在这一试验的上述 4 个比较差异都极显著。 正确进行单一自由度正交比较的关键是正确确定比较的内容和正确构造比较的正交系 数。在具体实施时应注意以下三个条件： (1)设有 k 个处理，正交比较的数目最多能安排 k-1 个；若进行单一自由度正交比较， 则比较数目必须为 k-1，以使每一比较占有且仅占有一个自由度。 (2)每一比较的系数之和必须为零，即ΣCi=0，以使每一比较都是均衡的。 (3)任两个比较的相应系数乘积之和必须为零，即ΣCiCj=0，以保证 SSt 的独立分解。 对于条件(2)，只要遵照上述确定比较项系数的四条规则即可。对于条件(3)，主要是在 确定比较内容时，若某一处理(或处理组)已经和其余处理(或处理组)作过一次比较，则该处 理(或处理组)就不能再参加另外的比较。否则就会破坏ΣCiCj=0 这一条件。只要同时满足了 (2)，(3)两个条件，就能保证所实施的比较是正交的，因而也是独立的。若这样的比较有 k-1 个，就是正确地进行了一次单一自由度的正交比较。 单一自由度正交比较的优点在于： (1)它能给人们解答有关处理效应的一些特殊重要的问题；处理有多少个自由度，就能 解答多少个独立的问题，不过这些问题应在试验设计时就要计划好。 (2)计算简单。 (3)对处理间平方和提供了一个有用的核对方法。即单一自由度的平方和累加起来应等
于被分解的处理间的平方和。否则,不是计算有误,就是分解并非独立。 七、方差分析的基本步骤 在本节中,结合单因素试验结果方差分析的实例,较详细地介绍了方差分析的基本原理 和步骤。关于方差分析的基本步骤现归纳如下 (一)计算各项平方和与自由度 (二)列出方差分析表,进行F检验 (三)若F检验显著,则进行多重比较。多重比较的方法有最小显著差数法(LSD法) 和最小显著极差法(LSR法:包括q检验法和新复极差法)。表示多重比较结果的方法有三角 形法和标记字母法 此外,若有一些特殊重要的问题需要回答,多重比较又无法或不能很好地回答这些问题 时,则应考虑单一自由度正交比较法。对这些特殊问题正确而有效的回答,依赖于正确的试 验设计和单一自由度正交比较法的正确应用 第二节单因素试验资料的方差分析 在方差分析中,根据所研究试验因素的多少,可分为单因素、两因素和多因素试验资料 的方差分析。单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种,目的在于正确判断该试验因 素各水平的优劣。根据各处理内重复数是否相等,单因素方差分析又分为重复数相等和重复 数不等两种情况。上节讨论的是重复数相等的情况。当重复数不等时,各项平方和与自由度 的计算,多重比较中标准误的计算略有不同。本节各举一例予以说明。 各处理重复数相等的方差分析 【例6.3】抽测5个不同品种的若干头母猪的窝产仔数,结果见表6-12,试检验不同品 种母猪平均窝产仔数的差异是否显著 表6-12五个不同品种母猪的寓产仔数 品种号观察值x(头/窝)Xx 12 9 9 9.6 12 15 13 =265 这是一个单因素试验,k=5,m=5。现对此试验结果进行方差分析如下: 1、计算各项平方和与自由度
91 于被分解的处理间的平方和。否则，不是计算有误，就是分解并非独立。 七、方差分析的基本步骤 在本节中，结合单因素试验结果方差分析的实例，较详细地介绍了方差分析的基本原理 和步骤。关于方差分析的基本步骤现归纳如下： （一）计算各项平方和与自由度。 （二）列出方差分析表，进行 F 检验。 （三）若 F 检验显著，则进行多重比较。多重比较的方法有最小显著差数法(LSD 法) 和最小显著极差法(LSR 法：包括 q 检验法和新复极差法)。表示多重比较结果的方法有三角 形法和标记字母法。 此外，若有一些特殊重要的问题需要回答，多重比较又无法或不能很好地回答这些问题 时，则应考虑单一自由度正交比较法。对这些特殊问题正确而有效的回答，依赖于正确的试 验设计和单一自由度正交比较法的正确应用。 第二节 单因素试验资料的方差分析 在方差分析中，根据所研究试验因素的多少，可分为单因素、两因素和多因素试验资料 的方差分析。单因素试验资料的方差分析是其中最简单的一种，目的在于正确判断该试验因 素各水平的优劣。根据各处理内重复数是否相等，单因素方差分析又分为重复数相等和重复 数不等两种情况。上节讨论的是重复数相等的情况。当重复数不等时，各项平方和与自由度 的计算，多重比较中标准误的计算略有不同。本节各举一例予以说明。 一、各处理重复数相等的方差分析 【例 6.3】抽测 5 个不同品种的若干头母猪的窝产仔数，结果见表 6-12，试检验不同品 种母猪平均窝产仔数的差异是否显著。 表 6-12 五个不同品种母猪的窝产仔数 品种号 观 察 值 xij (头/窝) xi. i. x 1 8 13 12 9 9 51 10.2 2 7 8 10 9 7 41 8.2 3 13 14 10 11 12 60 12 4 13 9 8 8 10 48 9.6 5 12 11 15 14 13 65 13 合计 x.. =265 这是一个单因素试验，k=5,n=5。现对此试验结果进行方差分析如下： 1、计算各项平方和与自由度