20世纪科普经典特藏从一到无穷大 去了。大家知道,0表示所有整数的数目,N1表示所有几何点的 数目,2表示所有曲线的数目,但到目前为止,还没有人想得出 种能用N3来表示的无穷大数来。看来,头三级无穷大数就足以 包括我们所能想到的一切无穷大数了。因此,我们现在的处境,正 好跟我们前面的原始部族人相反:他有许多个儿子,可却数不过 3;我们什么都数得清,却又没有那么多东西让我们来数!
20 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 去了。大家知道，ℵ0 表示所有整数的数目，ℵ1 表示所有几何点的 数目，ℵ2 表示所有曲线的数目，但到目前为止，还没有人想得出 一种能用ℵ3 来表示的无穷大数来。看来，头三级无穷大数就足以 包括我们所能想到的一切无穷大数了。因此，我们现在的处境，正 好跟我们前面的原始部族人相反：他有许多个儿子，可却数不过 3；我们什么都数得清，却又没有那么多东西让我们来数！
第二章自然数和人工数 最纯粹的数学 数学往往被人们、特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为 皇后,它当然不能屈尊俯就其他学科。因此,在一次“纯粹数学 和应用数学联席会议”上,当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲, 以求消除存在于这两种数学家之间的敌对情绪时,他这样说: 经常听到有人说,纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是 不符合事实的,纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去 不曾对立过,将来也不会对立。它们是对立不起来的,因为在事 实上它们两者毫无共同之处。 然而,尽管数学喜欢保持自己的纯粹性,并尽力远离其他学 科,其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”,特别是物理学。事 实上,纯粹数学的几乎每一个分支,包括诸如抽象群、不可逆代 数、非欧几何等一向被认为纯而又纯、决不能派任何用场的数学 理论,现在也都已被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。 但是,迄今为止,数学还有一个大分支没找到什么用途(除 了起智力体操的作用以外),它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。这 就是所谓“数论”(这里的数指整数),它是最古老的一门数学分 支,也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。 说来也怪,数论这门最纯粹的科学,从某种意义上说,又可 以称为经验科学,甚至可称为实验科学。事实上,它的绝大多数定 理都是靠用数字试着干某些事情而建立起来的,正如物理学定律 是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且,数论的一些定
21 第二章 自然数和人工数 一、最纯粹的数学 数学往往被人们、特别是被数学家们奉为科学的皇后。贵为 皇后，它当然不能屈尊俯就其他学科。因此，在一次“纯粹数学 和应用数学联席会议”上，当有人邀请希尔伯特作一次公开演讲， 以求消除存在于这两种数学家之间的敌对情绪时，他这样说： 经常听到有人说，纯粹数学和应用数学是互相对立的。这是 不符合事实的，纯粹数学和应用数学不是互相对立的。它们过去 不曾对立过，将来也不会对立。它们是对立不起来的，因为在事 实上它们两者毫无共同之处。 然而，尽管数学喜欢保持自己的纯粹性，并尽力远离其他学 科，其他学科却一直打算尽量同数学“亲善”，特别是物理学。事 实上，纯粹数学的几乎每一个分支，包括诸如抽象群、不可逆代 数、非欧几何等一向被认为纯而又纯、决不能派任何用场的数学 理论，现在也都已被用来解释物质世界的这个性质或那个性质了。 但是，迄今为止，数学还有一个大分支没找到什么用途（除 了起智力体操的作用以外），它真可以戴上“纯粹之王冠”哩。这 就是所谓“数论”（这里的数指整数），它是最古老的一门数学分 支，也是纯粹数学思维的最错综复杂的产物。 说来也怪，数论这门最纯粹的科学，从某种意义上说，又可 以称为经验科学，甚至可称为实验科学。事实上，它的绝大多数定 理都是靠用数字试着干某些事情而建立起来的，正如物理学定律 是靠用物体试着干某些事情而建立起来一样。并且，数论的一些定
120世纪科普经典特藏队从一到无穷大 理已“从数学上”得到了证明,而另一些却还停留在经验的阶段, 至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁,这一点也和物理学一样。 我们可以用质数问题作为例子。所谓质数,就是不能用两个 或两个以上较小整数的乘积来表示的数,如1,2,3,5,7,11, 13,17,等等。而12可以写成2×2×3,所以就不是质数。 质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢,还是存在一个最大 的质数,即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数 的乘积呢?这个问题是欧几里得( Euclid)最先想到的,他自己还 作了一个简单而优美的证明,证明没有“最大的质数”,质数数目 的延伸是不受任何限制的 为了研究这个问题,不妨暂时假设已知质数的个数是有限的, 最大的一个用N表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来 再加上1。这写成数学式是 (1×2×3×5×7×11×13x………×N)+1 这个数当然比我们所假设的“最大质数”N大得多。但是,十分 明显,这个数是不能被到N为止(包括N在内)的任何一个质数 除尽的,因为从这个数的产生方式就可以看出,拿任何质数来除 它,都会剩下1。 因此,这个数要么本身也是个质数,要么是能被比N还大的 质数整除。而这两种可能性都和原先关于N为最大质数的假设相 矛盾。 这种证明方式叫做反证法,是数学家们爱用的工具之一。 我们既然知道质数的数目是无限的,自然就会想问一问,是 否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的 哲学家兼数学家埃拉托色尼( Eratosthenes)提出了一种名叫“过 筛”的方法。这就是把整个自然数列1,2,3,4…统统写下来 然后去掉所有2的倍数、3的倍数、5的倍数等等。前100个数 欧几里得(约公元前330~前275年).古希腊几何学家。—译者
22 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 理已“从数学上”得到了证明，而另一些却还停留在经验的阶段， 至今仍在使最卓越的数学家绞尽脑汁，这一点也和物理学一样。 我们可以用质数问题作为例子。所谓质数，就是不能用两个 或两个以上较小整数的乘积来表示的数，如 1，2，3，5，7，11， 13，17，等等。而 12 可以写成 2×2×3，所以就不是质数。 质数的数目是无穷无尽、没有终极的呢，还是存在一个最大 的质数，即凡是比这个最大质数还大的数都可以表为几个质数 的乘积呢？这个问题是欧几里得（Euclid）* 最先想到的，他自己还 作了一个简单而优美的证明，证明没有“最大的质数”，质数数目 的延伸是不受任何限制的。 为了研究这个问题，不妨暂时假设已知质数的个数是有限的， 最大的一个用 N 表示。现在让我们把所有已知的质数都乘起来， 再加上 1。这写成数学式是： （1×2×3×5×7×11×13×……×N）+1。 这个数当然比我们所假设的“最大质数”N 大得多。但是，十分 明显，这个数是不能被到 N 为止（包括 N 在内）的任何一个质数 除尽的，因为从这个数的产生方式就可以看出，拿任何质数来除 它，都会剩下 1。 因此，这个数要么本身也是个质数，要么是能被比 N 还大的 质数整除。而这两种可能性都和原先关于 N 为最大质数的假设相 矛盾。 这种证明方式叫做反证法，是数学家们爱用的工具之一。 我们既然知道质数的数目是无限的，自然就会想问一问，是 否有什么简单方法可以把它们一个不漏地挨个写出来。古希腊的 哲学家兼数学家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一种名叫“过 筛”的方法。这就是把整个自然数列 1，2，3，4…统统写下来， 然后去掉所有 2 的倍数、3 的倍数、5 的倍数等等。前 100 个数 * 欧几里得（约公元前 330～前 275 年），古希腊几何学家。——译者
第二章自然数和人工数 过筛”后的情况如图9所示,共剩下26个质数。用这种原理简 单的过筛方法,我们已经得到了10亿以内的质数表。 ZAUN 亡山mmp 图9 如果能导出一个公式,从而能迅速而自动地推算出所有的质 数(并且仅仅是质数),那该多简便啊。但是,经过了多少世纪的 努力,并没有找到这个公式。1640年,著名的法国数学家费马 ( Pierre Fermat)认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是2 +1,n取自然数的各个值1,2,3,4等等。 从这个公式我们得到 22+1=5, 22+1=17 22+1=65537。 这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个
23 第二章 自然数和人工数 “过筛”后的情况如图 9 所示，共剩下 26 个质数。用这种原理简 单的过筛方法，我们已经得到了 10 亿以内的质数表。 图 9 如果能导出一个公式，从而能迅速而自动地推算出所有的质 数（并且仅仅是质数），那该多简便啊。但是，经过了多少世纪的 努力，并没有找到这个公式。1640 年，著名的法国数学家费马 （Pierre Fermat）认为自己找到了一个这样的公式。这个公式是 2 2 n + 1，n 取自然数的各个值 1，2，3，4 等等。 从这个公式我们得到： 1 2 2 1+ = 5， 2 2 2 1+ = 17， 3 2 2 1+ = 257， 4 2 2 1+ = 65 537。 这几个数都是质数。但在费马宣称他取得这个成就以后一个
120世纪科普经典特藏从一到无穷大 世纪,德国数学家欧拉( Leonard euler)指出,费马的第五个数 22+1=4294967297不是个质数,而是6700417和641的乘积 因此,费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。 还有一个值得一提的公式,用这个公式可以得到许多质数。 这个公式是 n2-n+41, 其中n也取自然数各个值1,2,3等等。已经发现,在n为1到40 的情况下,用这个公式都能得出质数。但不幸得很,到了第41步, 这个公式也不行了。 事实上 (41)-41+41=412=41×41 这是一个平方数,而不是个质数。 人们还试验过另一个公式,它是 n2-79n+1601, 这个公式在n从1到79时都能得到质数,但当,n=80时,它又不 成立了! 因此,寻找只给出质数的普遍公式的问题至今仍然没有解决。 数论定理的另一个有趣的例子,是1742年提出的所谓“哥德 巴赫( Goldbach)猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推 翻的定理,内容是:任何一个偶数都能表示为两个质数之和。从 些简单例子,你很容易看出这句话是对的。例如,12=7+5,24 17+7,32=29+3。但是数学家们在这方面作了大量工作,却仍然 既不能做出肯定的断语,也不能找出一个反证。1931年,苏联数 学家史尼雷尔曼( Schnirelman)朝着问题的最终解决迈出了建设 性的第一步。他证明了,每个偶数都能表示为不多于300000个质数 之和。“300000个质数之和”和“2个质数之和”之间的距离,后 来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫( Vinogradoff)大大缩短 了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“4个质数之和”。但是,从 维诺格拉多夫的“4个质数”到哥德巴赫的“2个质数”,这最后
24 20 世纪科普经典特藏 从一到无穷大 世纪，德国数学家欧拉（Leonard Euler）指出，费马的第五个数 5 2 2 1+ = 4 294 967 297 不是个质数，而是 6 700 417 和 641 的乘积。 因此，费马这个推算质数的经验公式被证明是错的。 还有一个值得一提的公式，用这个公式可以得到许多质数。 这个公式是： n 2 -n+41， 其中 n 也取自然数各个值 1，2，3 等等。已经发现，在 n 为 1 到 40 的情况下，用这个公式都能得出质数。但不幸得很，到了第 41 步， 这个公式也不行了。 事实上， (41)2 -41+41＝412 ＝41×41， 这是一个平方数，而不是个质数。 人们还试验过另一个公式，它是 n 2 -79n+1601， 这个公式在 n 从 1 到 79 时都能得到质数，但当，n＝80 时，它又不 成立了！ 因此，寻找只给出质数的普遍公式的问题至今仍然没有解决。 数论定理的另一个有趣的例子，是 1742 年提出的所谓“哥德 巴赫（Goldbach）猜想”。这是一个迄今既没有被证明也没有被推 翻的定理，内容是：任何一个偶数都能表示为两个质数之和。从一 些简单例子，你很容易看出这句话是对的。例如，12=7+5，24= 17+7，32=29+3。但是数学家们在这方面作了大量工作，却仍然 既不能做出肯定的断语，也不能找出一个反证。1931 年，苏联数 学家史尼雷尔曼（Schnirelman）朝着问题的最终解决迈出了建设 性的第一步。他证明了，每个偶数都能表示为不多于 300 000 个质数 之和。“300 000 个质数之和”和“2 个质数之和”之间的距离，后 来又被另一个苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradoff）大大缩短 了。他把史尼雷尔曼那个结论改成了“4 个质数之和”。但是，从 维诺格拉多夫的“4 个质数”到哥德巴赫的“2 个质数”，这最后