复旦大学：《电动力学》课程电子讲义（PDF演示版）第三章 静电场 03-05 §3.5静电边值问题：分离变量法

经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.5 常用坐标系拉氏方程V2y=0的通解 1.球坐标(r,6,)下拉氏方程V2y=0的通解 般旋转对称: 9n=(anr”+b-(+yP(cos0)为0或正实数 旋转对称且(0≤0≤丌):9=∑an+bnr(m+Pn(os0)n为0或正整数 P(cos0)为第一类勒让德函数:P0(x)=1,P1(x)=x,P(x)=(3x2-1) 2.平面极坐标(P,)下拉氏方程V2=0的通解:(与z无关的场) 般体系 (ao +bo In p)(co+ dop) 0 0为0或正实数(a2+b1-)20ob+asim),≠0 φ=(ao0+ bo In p)(co+doφ) (0≤φ≤丌): n为正整数 +>(anp"+bnp )(cn cos np +dn sin n) 复旦大学物理系 林志方徐建军2

Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.5 ~^‹IX.¼§ ∇2ϕ = 0 Ï) 1. ¥‹I (r, θ, φ) e.¼§ ∇2ϕ = 0 Ï)µ „^=页 ϕv = [avr v + bvr −(v+1)]Pv(cos θ) v  0 ½¢ê ^=顅 (0 ≤ θ ≤ π)µ ϕ = X ∞ n=0 [anr n + bnr −(n+1)]Pn(cos θ) n  0 ½ê Pv(cos θ) 1aV4¼êµP0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1) 2. ²¡4‹I (ρ, φ) e.¼§ ∇2ϕ = 0 Ï)µ £† z Ã'|¤ „NX v  0 ½¢ê ϕv = ( (a0 + b0 ln ρ)(c0 + d0φ), v = 0 (avρ v + bvρ −v )(cv cos vφ + dv sin vφ), v 6= 0 (0 ≤ φ ≤ π)µ n ê ϕ = (a0 + b0 ln ρ)(c0 + d0φ) + X ∞ n=1 (anρ n + bnρ −n )(cn cos nφ + dn sin nφ) E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.5 常用坐标系拉氏方程V2y=0的通解 1.球坐标(r,6,)下拉氏方程V2y=0的通解 般旋转对称: 9n=(anr”+b-(+yP(cos0)为0或正实数 旋转对称且(0≤0≤丌):9=∑an+bnr(m+Pn(os0)n为0或正整数 P(cos0)为第一类勒让德函数:P0(x)=1,P1(x)=x,P(x)=(3x2-1) 2.平面极坐标(P,)下拉氏方程V2=0的通解:(与z无关的场) 般体系 (ao +bo In p)(co+ dop) 0 0为0或正实数(a2+b1-)20ob+asim),≠0 φ=(ao0+ bo In p)(co+doφ) (0≤φ≤丌): n为正整数 +>(anp"+bnp-n)(cn cos n+dn sin no) 级数的系数以及υ由边界条件和边值关系确定 复旦大学物理系 林志方徐建军2

Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.5 ~^‹IX.¼§ ∇2ϕ = 0 Ï) 1. ¥‹I (r, θ, φ) e.¼§ ∇2ϕ = 0 Ï)µ „^=页 ϕv = [avr v + bvr −(v+1)]Pv(cos θ) v  0 ½¢ê ^=顅 (0 ≤ θ ≤ π)µ ϕ = X ∞ n=0 [anr n + bnr −(n+1)]Pn(cos θ) n  0 ½ê Pv(cos θ) 1aV4¼êµP0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = 1 2 (3x 2 − 1) 2. ²¡4‹I (ρ, φ) e.¼§ ∇2ϕ = 0 Ï)µ £† z Ã'|¤ „NX v  0 ½¢ê ϕv = ( (a0 + b0 ln ρ)(c0 + d0φ), v = 0 (avρ v + bvρ −v )(cv cos vφ + dv sin vφ), v 6= 0 (0 ≤ φ ≤ π)µ n ê ϕ = (a0 + b0 ln ρ)(c0 + d0φ) + X ∞ n=1 (anρ n + bnρ −n )(cn cos nφ + dn sin nφ) ?êXê±9 v d>.^‡Ú>Š'X(½ E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.5 例题 复旦大学物理系 林志方徐建军3

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经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.5 例题 例1:半径为a介电常数为∈1的介质球,放置于均匀外场E中,球外介 质的介电常数为e2 复旦大学物理系 林志方徐建军3

Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.5 !~K ~ 1µŒ» a 0>~ê 1 0Ÿ¥§uþ! | E~ 0 ¥§¥ 0 Ÿ0>~ê 2" E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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经典电动力学导论 Let there be light 第三章:静电场§3.5 例题 例1:半径为α介电常数为∈1的介质球,放置于均匀外场E中,球外介 质的介电常数为e2 界面为球,取球坐标,原点于介质球球心,z轴沿E0方向 设球内外电势分别为φ1,y2 复旦大学物理系 林志方徐建军3

Let there be light ²;>ÄåÆØ 1nÙµ·>| § 3.5 !~K ~ 1µŒ» a 0>~ê 1 0Ÿ¥§uþ! | E~ 0 ¥§¥ 0 Ÿ0>~ê 2" .¡¥§¥‹I§:u0Ÿ¥¥%§z ¶÷ E~0 • ¥S >³©O ϕ1, ϕ2§ E￾ŒÆ ÔnX  Mï
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