第二章数据的误差与实验数据的分析处理 水处理实验,不仅影响因素多,而且测试量大,更多测量是在动态实验下进行,不容许 对被测量值做重复测量,所以,实验中往往对某些测量值只进行一次测定。例如,曝气设 备清水充氧实验中,取样时间、水中溶解氧值测定(仪器测定)压力计量等,均为一次测定 值。这些测定值的误差,应根据具体情况进行具体分析,对于偶然误差较小的测定值,可 按仪器上注呀的误差范围分析计算;无注明时,可按仪器最小刻度的1/2作为单次测量的 误差,如用上海第二分析仪器厂的SJ6-203溶解氧测量仪记录,仪器精度为0.5级。当 测得DO=3.2mg/时,其误差值为32×0.005=0.016mgf;若仪器未给出精度由于仪 器最小刻度为0.2mg/,故每次测量的误差可按0.1mg考虑。 (2)重复多次测量值误差分析算术平均误差及均方根偏差 为了能得到比较准确可靠的测量值,在条件允许的情况下,尽可能进行多次测量,并 以测量结果的算术平均值近似代替该物理量的真值。该值误差的大小,在工程中除用算 术平均误差表示外,多用均方根偏差或标准偏差来表示。 ①算术平均误差,是指测量值与算术平均值之差的绝对值的算术平均值。 设各测量值为x,则算术平均值为 偏差为d=x,-x,则算术平均误差△x为 i d i 则真值可表示为a=x土△x。 ②均方根偏差又叫标准偏差,是指各测量值与算术平均值差值的平方和的平均值的 平方根,故又称为均方偏差。其计算式为 (x;-x)2 在有限次测量中,工程上常用下式计算标准偏差 15 由丁上式中是用算术平均值代替了未知的真值故用偏差这个词代替了误差,将由此 式得到的均方根误差也称为均方根偏差。测量次数越多,算术平均值越接近于真值,则各 偏差也越接近于误差。因此,工程中一般不去区分误差与偏差的细微区别,而将均方根偏 差也称之为均方根误差,简称为均方差,则真值可用多次测量值的结果表示为 a=x±d
水处理工程应用实验 3间接测量值误差分析 间接测量值是通过一定的公式,由直接测量值计算而得。由于直接测量值均有误差, 故间接测量值也必有一定的误差。该值大小不仅取决于各直接测量值误差大小,还取决 于公式的形式。表达各直接测量值误差与间接测量值误差间的关系式称之为误差传递 公式。 (1)间接测量算术平均误差计算 这种误差分析,是在考虑各项误差同时出现最不利情况时,其绝对值相加而得。计算 时可分为以下几类。 ①加减法运算中间接测量值误差分析 设N=A+B或N=A-B,则有 △N=△A+△B 即和、差运算的绝对误差等于各直接测得值的绝对误差之和。 ②乘除运算中间接测量值误差 设N=AB或N=A,则有 dN△A,△B N A B (26) 即乘除运算的相对误差等于各直接测量值相对误差之和。 由上述结论可见,当间接测量值计算式只含加、减运算时,以先计算绝对误差后计算 相对误差为宜;当式中只含乘除、乘方、开方时,以先计算相对误差,后计算绝对误差为 宜 (2)闰接测量值标准误差计算 由于间接测量值算术平均误差是在考虑各项误差同时出现最不利情况下的计算结 果,这在实际工程中出现的可能性是很小的,因而按此法算得的误差夸大了间接测量值的 误差,故工程实际多采用标准误差进行间接测量值的误差分析,其误差传递公式如下。 绝对误差 +(歌++(·an 相对误差 (2.8) 式中—间接测量值的标准误差; 3r, σ,直接测量值x1,…,X的标准误差 3,x,3…—面数(x,x,…,)对变量x,X,…的偏导数并 X1,X2,…代入求其值
第二章数据的误差与实验数据的分析处理 9 由于上式更真实地反映了各直接测量值误差与间接测量值误差间的关系,因此,在正 式误差分析计算中都用此式。但实际实验中,并非对所有直接测量值都进行多次测量此 时所算得的间接测量值误差,相对各直接测量值的误差均比标准误差算得的误差要大 些, 4测量仗器精度的选择 掌握了误差分析理论后,就可以在实验中正确选择所使用仪器的精度,以保证实验结 果有足够精度。 工程中,当要求间接测量值N的相对误差为下=6≤A时,通常采用等分配方案, 将其误差分配给各直接测量值X,即 (29) 式中X—某待测量X1的直接测量值 o,某直接测量值X,的绝对误差值; 待测量值的数目。 则根据A的大小就可以选定测量X时所用仪器的精度 在仪器精度能满足测试要求的前提下,尽量使用精度低的仪器,否则由于仪器对周围 环境、操作等要求过高,使用不当,反而加速仪器的损坏。 第二节实验数据的整理及分析 水处理实验,不仅影响因素多,而且大多数因素相互变化规律也不十分清晰,因而学 好这-节,对于进行水处理实验的分析整理、正确认识客观规律是个关键。 实验数据的整理 实验数据整理的目的在于分析实验数据的一些基本特点,计算实验数据的基本统计 特征,利用计算得到的些参数,分析实验数据中可能存在的异常点,为实验数据取舍提 供一定的统计数据。 1.有效数字及其运算 每一个实验都要记录大量的原始数据,并对它们进行分析运算。但是这些直接测量 数据都是近似数存在一定误差,因此,这就存在一个实验时记录应取几位数,运算后又应 保留几位数的问题。 (1)有效数字
0 水处理工程应用实验 准确测定的数字加上最后一位估读数字所得的数字称为有效数字。如用20ml刻度 为0.1ml的滴定管测定水溶解氧含量,共消耗硫代硫酸钠为3.63ml时,有效数字为3 位,其中36为确切读数,而0.03为估读数字。因此,实验中直接测量值的有效数字与仪 表刻度有关,根据实际可能,一般都应尽可能估计到最小分度的1/10或是/5。 (2)有效数字的运算规则 由于间接测量值是由直接测量值计算出来的,因而也存在有效数字的问题。 ①有效数字的加、减。运算和、差值时,小数点后有效数字的位数与参加运算各数中 小数点后位数最少的相同。 ②有效数字的乘除。运算后,积、商的有效数字的位数与各参加运算有效数中位数 最少的相同。 ③乘方开方的有效数字。乘方开方运算后的有效数字的位数与其底的有效数字位 数相同 有效数字运算时,应注意到公式中某些系数不是由实验测得的,计算中不考虑其位 数。对数运算中,首数不算有效数字。乘、除运算中,首位数是8或9的有效数字多计 位 2实验数据的整理 (1)实验数据的基本特点 对实验数据进行简单分析后,可以看出,实验数据一般具有以下一些特点 ①实验数据总是以有限次数给出并具有一定波动性。 ②实验数据总存在实验误差,且是综合性的,即随机误差系统误差、过失误差同时存 在于实验数据中。今后我们所研究的实验数据,认为是没有系统误差的数据 ③实验数据大都具有一定的统计规律性。 (2)几个重要的数字特征 用几个有代表性的数,来描述随机变量x的基本统计特征,般把这儿个数称为随 机变量x的数字特征。 ①位置特征参数及其计算 实验数据的位置特征参数是用来描述实验数据取值的平均数和特定位置的,常用的 有均值、极大值、极小值、中值、众值等等。 1)均值x由实验得到一批数据x1,x2…,xn,n为测试次数,则算术平均值为 1 2)极大值 a= maxim,2, (2.11) 3)极小值
第二章数据的误差与实验数据的分析处理 min!1,c 4)中值x是一组实验数据的中项测量值,其中一半实验数据小于此值,另一半实验 数据大于此值。若得数为偶数时,则中值为正中两个值的平均值。该值可以反映全部实 验数据的平均水平 5)众值N是实验数据中出现最频繁的量,故也是可能值,其值即为所求频率的极大 值出现时的量,因此,众值不像上述儿个位置特征参数那样可以迅速直接求得,而是应先 求得频率分布再从中确定 ②分散特征参数 分散特征参数被用来描述实验数据的分散程度,常用的有极差、标准差、方差、变异系 数等。 1)极差R R=maxx1,x2,…,xn}-minx1,x2,…,xn (2.13) 2)方差和标准差 方差 (x1-x)2 (2.14) 标准差 3)变异系数C C.= (2.16) 3.实验数据中可疑数据的取舍 (1)可疑数据 对实验结果有明显影响的测量数据称为离群数据;而将可能影响实验结果,但尚未证 明确定是离群数据的测量数据称为可疑数据。 (2)可疑数据的取舍 实验中由于条件改变、操作不当或其他人为的原因产牛离群数值,并有当时记录可供 参考,没有肯定的理由证明它是离群数值,而从理论上分析,此点又明显反常时,可以根据 偶然误差分布的规律,决定它的取舍。 二实验数据的分析 在对实验数据进行整理,剔除了错误数据。数据处理的目的就是要充分使用实验所 提供的信息,利用数理统计知识,分析各个因素对实验结果的影响及影响的主次,浮找各 个变量间的相互影响的规律,用图形、表格或经验公式等加以表示。 1实验结果的表格、图形表示法 给水排水处理工程同其他学科一样,反映客观规律的变量间的关系也分为两类,一类