上海交通大学：《数字信号处理 Digital Signal Processing（B）》教学资源_Handouts_dsp3-9章中文版

第四章FR滤波与卷积 10 因此，(4.1.16)的求和项上下限随n的不同而不同： 0≤n<M m=0 M yn= hnX-m M≤n≤L-1 m=0 M hnXn-m L-1<n≤L-1+M m=n-L+l input-on阶段，求和的项数为n+1并且是增加的。Steady state阶段，求和的项数等与滤波器的 阶数相加一（滤波器权数），并且保持固定。而在input-of阶段，求和的项数逐渐减小最后为1。 前面的例题中，{yo,y1,y2}属于input-on暂态阶段，{y3,y4}属于steady state阶段，{ys,y6, y?}属于input--off暂态阶段。 稳态阶段的I/O方程求和的项数是固定的： y(n)=∑h(m)x(n-m) (4.1.23) m-0 从某种意义上说，上式也包含了input-.on、input-of阶段，所以也将其称为FIR滤波器的一般IVO 方程。为什么？在考虑例(4.1.18)中所提到的例子。我们可以将yn写为： yn=hoxn +hxn+h2xn2+h3xn3 如果n属于input--on阶段，亦即：0≤n≤2，求和式中并非每一项都贡献，因为xn是因果性信 号。若n=1, y=hox1+hxo +h2x1.2+h3X13 X1-2X1-3为零。 当n处在steady state阶段，每一项都贡献。N处在input-of阶段，并非所有项都贡献。若n=6, 我们有： y6=hox6+h1X6.1+h2x6-2+h3x6-3=h2X4+h3X3 这是因为xn)的长度为5，x6=x=0 所以，式(4.1.23)是具有一般性质的I/O方程。 §4.1.8无限长序列的卷积 对direct form的卷积设定适当的上、下限，我们就可以求得以下三种情形时的卷积： min(n,M) yn= haXa-m m=max (0,n-L+1) 滤波器的阶数无限、输入是有限长序列，既：M=∞，L<∞

第四章 FIR 滤波与卷积 10 因此，（4.1.16）的求和项上下限随 n 的不同而不同：        ∑ − < ≤ − + ∑ ≤ ≤ − ∑ ≤ < = = − + − = − = − M m n L m n m M m m n m n m m n m n h x L n L M h x M n L h x n M y 1 0 0 1 1 1 0 input-on 阶段，求和的项数为 n+1 并且是增加的。Steady state 阶段，求和的项数等与滤波器的 阶数相加一（滤波器权数），并且保持固定。而在 input-off 阶段，求和的项数逐渐减小最后为 1。 前面的例题中，｛y0，y1，y2｝属于 input-on 暂态阶段，｛y3，y4｝属于 steady state 阶段，｛y5，y6， y7｝属于 input-off 暂态阶段。 稳态阶段的 I/O 方程求和的项数是固定的： ∑= = − M m y n h m x n m 0 ( ) ( ) ( ) (4.1.23) 从某种意义上说，上式也包含了 input-on、input-off 阶段，所以也将其称为 FIR 滤波器的一般 I/O 方程。为什么？在考虑例(4.1.18)中所提到的例子。我们可以将 y n 写为： yn = h0xn + h1xn -1 + h2xn-2 + h3xn-3 如果 n 属于 input-on 阶段，亦即：0≤n≤2，求和式中并非每一项都贡献，因为 x n是因果性信 号。若 n=1， y 1= h0 x1 + h1x0 + h2 x1-2 + h3 x1-3 x1-2、x1-3 为零。 当 n 处在 steady state 阶段，每一项都贡献。N 处在 input-off 阶段，并非所有项都贡献。若 n=6， 我们有： y6 = h0 x6 + h1x6 -1 + h2 x6-2 + h3 x6-3 = h2 x4 + h3 x3 这是因为 x(n)的长度为 5， x6= x5=0 所以，式(4.1.23)是具有一般性质的 I/O 方程。 §4.1.8 无限长序列的卷积 对 direct form 的卷积设定适当的上、下限，我们就可以求得以下三种情形时的卷积： ∑ = − + = − min( , ) max 0 1) n M m n L n m n m y h x （ ， 滤波器的阶数无限、输入是有限长序列，既：M=∞，L<∞

Introduction to Signal Processing 11 滤波器的阶数有限、输入是无限长序列，既：M<∞，L=∞ 滤波器的阶数无限、输入是无限长序列，既：M=∞，L=∞ 这三种情况输出的项数都是无限的。0≤<∞，也就是说输出序列的延时无限长。当M→∞时， 卷积求和的项数的上限为： min(n,M)=n 而当L→∞时，卷积求和的项数的下限为： max(0,n-L+1=0 因此，我们发现这三种情况下： y= 了.hnxn-m M=o∞，L<∞ m=max(0,n=L+1) min(n,M) yn= M<c∞，L=∞ M=∞，L=∞ 当滤波器的阶数无限时，其稳定状态就是当n很大时的y(n)。 例4.1.5一IR滤波器的冲激响应h(n)=(0.75)”u(n)。用卷积求当输入为以下序列时的输出序 列： ①输入为单位阶跃序列：x(n=u(n) ②输入为单位阶跃序列的翻摺：xn)=(-1)”u(n) ③延时为25时间单位的方波，即：xn戶u(n)-u(n-25) 并求滤波器的稳态响应。 解：①输入序列和滤波器的冲激响应都为因果序列且无限延时。利用公式得到： yn)）=2hm）x(n-m）=2(0.75)"um)un-m） m=0 =0 或者利用几何级数公式： 0m=龙(0.75y=1-0,75"=4-30.75y 1-0.75 稳态响应就是上式中n→∞，即： 1 m）=1-0.754 ②我们有： y(n)=∑h(m)(-1)"-m=(-1)”(-0.75)" 71=0 =0 =(←11-(-0.75)4 +073--y+30,75)°

Introduction to Signal Processing 11 滤波器的阶数有限、输入是无限长序列，既：M<∞，L=∞ 滤波器的阶数无限、输入是无限长序列，既：M=∞，L=∞ 这三种情况输出的项数都是无限的。0≤n<∞，也就是说输出序列的延时无限长。当 M→∞时， 卷积求和的项数的上限为： min(n，M)=n 而当 L→∞时，卷积求和的项数的下限为： max(0,n-L+1)=0 因此，我们发现这三种情况下： ∑= = + = − n m n L n m n m y h x max(0, 1) M=∞，L<∞ ∑= = − min( , ) 0 n M m n m n m y h x M<∞，L=∞ ∑= = − n m n m n m y h x 0 M=∞，L=∞ 当滤波器的阶数无限时，其稳定状态就是当 n 很大时的 y(n)。 例 4.1.5 一 IIR 滤波器的冲激响应 。用卷积求当输入为以下序列时的输出序 列： h(n) (0.75) u(n) n = ①输入为单位阶跃序列： x(n)=u(n) ②输入为单位阶跃序列的翻摺：x(n)=(-1)n u(n) ③延时为 25 时间单位的方波，即：x(n)=u(n)-u(n-25) 并求滤波器的稳态响应。 解：①输入序列和滤波器的冲激响应都为因果序列且无限延时。利用公式得到： = ∑ − = ∑ − = = n m m n m y n h m x n m u m u n m 0 0 ( ) ( ) ( ) (0.75) ( ) ( ) 或者利用几何级数公式： ∑ = − − − = = = + n m n n m y n 0 1 4 3(0.75) 1 0.75 1 (0.75) ( ) (0.75) 稳态响应就是上式中 n→∞，即： 4 1 0.75 1 ( ) = − y n = ②我们有： n n n n n m n m n m n m y n h m (0.75) 7 3 ( 1) 7 4 1 0.75 1 ( 0.75) ( 1) ( ) ( )( 1) ( 1) ( 0.75) 1 0 0 = − + + − − = − = ∑ − = − ∑ − + = = −

第四章FR滤波与卷积 12 上式的第二项中，我们利用(-1)”(-0.75)”=(0.75)”。当n→∞时，我们有： m→-r1+075=-号 1+0.75 后面我们将看到，这样的稳态响应相当于滤波器正弦响应的特例（ω=0和。=·）。我们可以根 据滤波器的传递函数H(2)很方便得到稳态响应。对①相当于z=1。对②相当于在=-1。也就是说： y(n)→H() y(n)→(-1)"H(-1) 本例题中： H(e)=1-0752←一H0=1-0.754和 H-)=1+0757 1 4 ③输入是有限延时的，L=25。因此： y(n)= 2h(m)xn-m）= 2(0.75)m m=max(0,n-L+1) m=max(0,n-24) n必须分段讨论。当0≤n≤24时，我们有： 0m=20.75=1-0,75=4-30.75 m=0 1-0.75 当25≤n≤∞时： m）=2(0.75)"=(0.75-241-(0.75)--24 =(0.75)-241-(0.75)25 m=n-24 1-0.75 1-0.75 后者对应的是input-of阶段。由于冲激响应指数衰减，这样的滤波器相当于RC积分器。0≤n ≤24时滤波器“充电”，25≤n≤∞时滤波器“放电”。 三种情况下的输出如图所示：（图page139) 例4.1.6第三章例3.4.5中我们介绍过，若冲激响应为h(nm)=(0.75)”(n),则输入输出差分方 程为： y(n)=0.75y(n-1)+x(n) 试证明例4.1.5中所得到的三种y()的表达式正好是上述差分方程在因果初始条件下的解。 解：第一种情况，我们有x(n)=u(n)。差分方程为： y(n)=0.75y(n-1)+1 n=0,y0)=0.75y(1)+1=1与y(n)=4-3(0.75)”一致。当n≥1时，方程的右边 0.75y(n-1)+1=0.75[4-3(0.75)"-]+1=4-3(0.75)”=y(n) 第二种情况，x(n=(-l)u(n),当n≥1时，差分方程为：

第四章 FIR 滤波与卷积 12 上式的第二项中，我们利用 。当 n→∞时，我们有： n n n (−1) (−0.75) = (0.75) 7 4 ( 1) 1 0.75 1 ( ) ( 1) n n y n = − + → − 后面我们将看到，这样的稳态响应相当于滤波器正弦响应的特例(ω=0 和 ω=π)。我们可以根 据滤波器的传递函数 H(z)很方便得到稳态响应。对①相当于 z=1。对②相当于在=-1。也就是说： y(n) → H(1) y(n) → (−1) H(−1) n 本例题中： 7 4 1 0.75 1 4 H(-1) 1 0.75 1 (1) 1 0.75 1 ( ) 1 = + = = − ⇐⇒ = − = − H 和 z H z ③ 输入是有限延时的，L=25。因此： = ∑ − = ∑ = − + = − n m n m n m n L y n h m x n m max(0, 1) max(0, 24) ( ) ( ) ( ) (0.75) n 必须分段讨论。当 0≤n≤24 时，我们有： n n n m m y n 4 3(0.75) 1 0.75 1 (0.75) ( ) (0.75) 1 0 = − − − = ∑ = + = 当 25≤n≤∞时： 1 0.75 1 (0.75) (0.75) 1 0.75 1 (0.75) ( ) (0.75) (0.75) 25 24 ( 24) 1 24 24 − − = − − = ∑ = − − − + − = − n n n n n m n m y n 后者对应的是 input-off 阶段。由于冲激响应指数衰减，这样的滤波器相当于 RC 积分器。0≤n ≤24 时滤波器“充电”，25≤n≤∞时滤波器“放电”。 三种情况下的输出如图所示：(图 page 139) 例 4.1.6 第三章例 3.4.5 中我们介绍过，若冲激响应为 ，则输入输出差分方 程为： h(n) (0.75) u(n) n = y(n) = 0.75y(n −1) + x(n) 试证明例 4.1.5 中所得到的三种 y(n)的表达式正好是上述差分方程在因果初始条件下的解。 解：第一种情况，我们有 x(n)=u(n)。差分方程为： y(n) = 0.75y(n −1) +1 n=0，y(0)=0.75y(-1)+1=1 与 一致。当 n≥1 时，方程的右边 n y(n) = 4 − 3(0.75) 0.75 ( 1) 1 0.75[4 3(0.75) ] 1 4 3(0.75) ( ) 1 y n y n n n − + = − + = − = − 第二种情况，x(n)=(-1)n u(n)，当 n≥1 时，差分方程为：

Introduction to Signal Processing 13 075tn-1+m=079-1+075)产1+(-y =-075（-+20.75r+-°=（-+20.75r=m) 4 第三种情况，差分方程如下： y(n)=0.75y(n-1)+10≤n≤24 y(n)=0.75yn-1) n≥25 n=25时，我们需要知道n=24时的值y(24)。如果y(24)已知的话，齐次方程的解为： y(n)=(0.75)-24y(24) 而 24=1-075=4-30.754 1-0.75 无论滤波器的阶数是有限还是无限的、无论输入序列时有限长还是无限长、无论滤波器是因果 性还是非因果性的，我们可以定义如下： 设滤波器的冲击响应h(n)是在区间： -M≤n≤M2 上定义的。 输入信号在区间： -L1≤n≤L2-l 上定义。 h(n) x(n) n n -M 0 M, 0 L2-1 任何一种情况都可以通过设置不同的上下限，由上述一般情形推导出来。我们想做的无非是确 定输出项数和卷积方程中求和项的上限和下限： yn=∑hm)axn-m） h(m)和x(n-m)中的系数m必须满足下列条件： 一M≤m≤M 以及 -L1≤n-m≤L2一1 由此可以得到，输出项的系数n只能在以下范围内： -M1-L1≤n≤M+L2-1 注意到输出项系数的终点（上、下限）是相应的h(n)和x(n)的上、下限之和，每一项输出y(n) 求和项系数必然位于以下范围内： max(-M,n-L2t1)≤m≤min(+L1,M2)

Introduction to Signal Processing 13 (0.75) ( ) 7 3 ( 1) 7 4 (0.75) ( 1) 7 3 ( 1) 7 4 0.75 (0.75) ] ( 1) 7 3 ( 1) 7 4 0.75 ( 1) ( ) 0.75[ 1 1 y n y n x n n n n n n n n n = − − + + − = − + = − + = − + + − − − 第三种情况，差分方程如下： ( ) 0.75 ( 1) n 25 ( ) 0.75 ( 1) 1 0 n 24 = − ≥ = − + ≤ ≤ y n y n y n y n n=25 时，我们需要知道 n=24 时的值 y(24)。如果 y(24)已知的话，齐次方程的解为： ( ) (0.75) (24) 24 y n y n− = 而 24 25 4 3(0.75) 1 0.75 1 (0.75) (24) = − − − y = 无论滤波器的阶数是有限还是无限的、无论输入序列时有限长还是无限长、无论滤波器是因果 性还是非因果性的，我们可以定义如下： 设滤波器的冲击响应 h(n)是在区间： -M1≤n≤M2 上定义的。 输入信号在区间： -L1≤n≤L2-1 上定义。 h(n) x(n) n n -M1 0 M2 -L1 0 L2-1 任何一种情况都可以通过设置不同的上下限，由上述一般情形推导出来。我们想做的无非是确 定输出项数 n 和卷积方程中求和项的上限和下限： = ∑ − m yn h(m)x(n m) h(m)和 x(n-m)中的系数 m 必须满足下列条件： －M1≤m≤M2 以及 －L1≤n-m≤L2－1 由此可以得到，输出项的系数 n 只能在以下范围内： －M1－L1≤n≤M2+L2－1 注意到输出项系数的终点（上、下限）是相应的 h(n)和 x(n)的上、下限之和，每一项输出 y(n) 求和项系数必然位于以下范围内： max(－M1，n-L2+1) ≤m≤min(n+L1，M2)

第四章FIR滤波与卷积 14 因此，VO方程为： min(n+L,M) h(m)x(n-m) m=max(-M,n-L2+1) 前面所讲述的因果性系统无非是上述一般情况的特例而己。 M1=0,M2=M,L1=0,L2=L §4.1.9编程方面的考虑（略） 程序conv.c实现卷积算法。MATLAB中函数conv、conv2可以实现卷积算法。 几个例题。例题中有一个我们感兴趣的量…滤波器的DC gair(直流增益)。其定义为： yak=∑h(m) (4.1.24) 例4.1.7 G 0≤n≤14 滤波器hn otherwise 直流增益yk= 先hm=G=15G=1.5 m=0 m=0 例4.1.8设有两个FR滤波器，一个以冲激响应形式表示，另一个以传递函数形式表示： ba=0.25(0.75)" 0≤n≤M=14 (a)h(n)= 0 n≥15 其DC增益： k=兰m=b丝ar=0-a)1-a =0 =0 代入数据：a=0.75,b=(1-0.75)=0.25得到： yk=1-(0.75)5=0.987 c(dr+() (b)滤波器用传递函数表示：

第四章 FIR 滤波与卷积 14 因此，I/O 方程为： ∑ + = − − + = − min( , ) max( , 1) 1 2 1 2 ( ) ( ) n L M m M n L y n h m x n m 前面所讲述的因果性系统无非是上述一般情况的特例而已。 M1=0，M2=M，L1=0，L2=L §4.1.9 编程方面的考虑(略) 程序 conv.c 实现卷积算法。MATLAB 中函数 conv、conv2 可以实现卷积算法。 几个例题。例题中有一个我们感兴趣的量……滤波器的 DC gain(直流增益)。其定义为： = ∑ m ydc h(m) (4.1.24) 例 4.1.7 滤波器    ≤ ≤ = 0 otherwise 0 14 G n hn 直流增益 ( ) 15 1.5 14 0 14 0 = ∑ = ∑ = = = = y h m G G m m dc 例 4.1.8 设有两个 FIR 滤波器，一个以冲激响应形式表示，另一个以传递函数形式表示： (a)    ≥ = ≤ ≤ = = 0 n 15 0.25(0.75) 0 n M 14 ( ) n n ba h n 其 DC 增益： 1 0 1 0 1 1 1 ( ) ( ) (1 ) + = + = ∑ = − − − = ∑ = = − ⋅ M M n M n M n dc a a a y h m b a a 代入数据：a=0.75，b=(1-0.75)=0.25 得到： 1 (0.75) 0.987 15 ydc = − = C R uin uo ∞       = − ∫ + t o uin d uc RC u 0 ( ) (0) 1 τ τ (b)滤波器用传递函数表示：