第四章需求理论 0 则 (Z-=x)dp+=dr 进 1人d d)( x)dp+ pdr 步,令S=1zZ=(k)。这个矩阵S称为斯勒茨基矩阵( Slutsky's matrix),其元素sk称 为斯勒茨基系数( Slutsky' s coeficients)。我们有: (S-x)dp+=dr )dp 称此方称为修正的需求基本矩阵方程。 替代效应与收入效应的含义 首先,我们来解释替代效应与收入效应的含义,从而给斯勒茨基系数的意义作出解释 一种商品的价格变化,会对消费者产生两种影响:一是使消费者的实际收入水平发生变 化,另一是使商品的相对价格发生变化。这两种变化都会改变消费者对商品的需求量。在这 里,消费者的实际收入水平变化被定义为效用水平的变化。比如,当服装的价格下降时,虽 然消费者的货币收入未变,但现有货币收入的购买力增强了,也就是说消费者的实际收入水 平提高了。而实际收入水平的提高,会使消费者改变对服装以及其他商品的消费量,从而达 到更高的效用水平,这就是收入效应。还有另一方面,服装价格下降,使得服装相对于其他 价格未变的商品来说变得较以前便宜了,也就是说,服装价格下降等同于其他商品价格相对 上升;即使服装价格未变,但其他商品的价格上升,这也使得服装相对于其他价格上升的商 品来说变得较以前便宜了。商品的这种相对价格变化,会使消费者增加对服装的购买量而减 少对其他商品的购买量,这就是替代效应。显然,替代效应不考虑实际收入水平变动对需求 的影响,因而替代效应不改变消费者的效用水平 综上所述,一种商品的价格变化所引起的商品需求量变动的总效应,可以分解为替代效 应和收入效应两部分:总效应=替代效应+收入效应。其中,由商品的价格变动引起商品相 对价格发生变动,进而由商品相对价格变动所引起的商品需求量变动,就是替代效应:由商 品的价格变动引起消费者实际收入水平变动,进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量 变动,就是收入效应。替代效应不改变消费者的效用水平,而收入效应则使消费者的效用水 平发生变化 为了具体分析替代效应和收入效应,用列向量φ表示价格体系的变动,用d表示收入 水平的变动。这些变动所引起的各种商品需求量的变动,用列向量x表示,即dx代表总效 应。用d表示拉格朗日乘数所发生的相应的变动。根据修正的需求基本矩阵方程,我们有 (S-=x)dp+zdr dn=(px-=)dp-pdr ax a =二。注意,这里的x为行向量,z为列向量 ar
第四章 需求理论 63 1 0 ( ) − = T T p u x p z Z z 则 − + − + = − − = − = − z x d p d r Z z x d p z d r d r d p z x Z z x z d r d p x E z Z z d d x T T T ( ) ( ) 1 0 。进一 步，令 ( ) = = hk S Z s 。这个矩阵 S 称为斯勒茨基矩阵(Slutsky’s matrix)，其元素 hk s 称 为斯勒茨基系数(Slutsky’s coeficients)。我们有： − − − + = x z dp dr S z x dp z dr d dx T ( ) ( ) 称此方称为修正的需求基本矩阵方程。 一．替代效应与收入效应的含义 首先，我们来解释替代效应与收入效应的含义，从而给斯勒茨基系数的意义作出解释。 一种商品的价格变化，会对消费者产生两种影响：一是使消费者的实际收入水平发生变 化，另一是使商品的相对价格发生变化。这两种变化都会改变消费者对商品的需求量。在这 里，消费者的实际收入水平变化被定义为效用水平的变化。比如，当服装的价格下降时，虽 然消费者的货币收入未变，但现有货币收入的购买力增强了，也就是说消费者的实际收入水 平提高了。而实际收入水平的提高，会使消费者改变对服装以及其他商品的消费量，从而达 到更高的效用水平，这就是收入效应。还有另一方面，服装价格下降，使得服装相对于其他 价格未变的商品来说变得较以前便宜了，也就是说，服装价格下降等同于其他商品价格相对 上升；即使服装价格未变，但其他商品的价格上升，这也使得服装相对于其他价格上升的商 品来说变得较以前便宜了。商品的这种相对价格变化，会使消费者增加对服装的购买量而减 少对其他商品的购买量，这就是替代效应。显然，替代效应不考虑实际收入水平变动对需求 的影响，因而替代效应不改变消费者的效用水平。 综上所述，一种商品的价格变化所引起的商品需求量变动的总效应，可以分解为替代效 应和收入效应两部分：总效应＝替代效应＋收入效应。其中，由商品的价格变动引起商品相 对价格发生变动，进而由商品相对价格变动所引起的商品需求量变动，就是替代效应；由商 品的价格变动引起消费者实际收入水平变动，进而由实际收入水平变动所引起的商品需求量 变动，就是收入效应。替代效应不改变消费者的效用水平，而收入效应则使消费者的效用水 平发生变化。 为了具体分析替代效应和收入效应，用列向量 dp 表示价格体系的变动，用 dr 表示收入 水平的变动。这些变动所引起的各种商品需求量的变动，用列向量 dx 表示，即 dx 代表总效 应。用 d 表示拉格朗日乘数所发生的相应的变动。根据修正的需求基本矩阵方程，我们有： = − − = − + d x z dp dr dx S z x dp z dr T ( ) ( ) 即 S z x p x p x k h = − = ， z r x r x h = = 1 。注意，这里的 x 为行向量， z 为列向量。因
第四章需求理论 h Mh Oh(h,k=1,2,…,O)。我们得到 Or(h,k=12.0 其中,axb/0Pk表示当商品k的价格增加(减少)一单位而其余商品的价格保持不变时, 商品h的需求量的增加(减少)量;∂x/or表示当消费者收入增加(减少)一个单位而商品价格 保持不变时,商品h的需求量的增加(减少)量。在价格体系P和收入水平r下,消费者选择 了消费向量x=(x1,x2…x)。现在,商品k的价格增加了一个单位而其余商品的价格不变, 这相当于消费者的实际收入减少了x4个单位,进而实际收入的减少引起了商品h的购买量减 少 xk axh/or个单位,从而消费者的效用水平必将下降。为了不让消费者的效用水平发生变 化,必须保证消费者的实际收入水平不变,即必须使所减少的这xk0xn/Or个单位的商品h的 消费量得到补偿。这也就是说,当商品k的价格上升而其余商品的价格未变时,按照变化后 的价格体系,消费者将增加对商品h的购买量,其增加量为∂xb/∂Pk。但是,仅仅按照这个 水平来增加商品h的消费,由于实际收入水平的下降,消费者的效用水平要下降。如果要保 持价格变化后的效用水平同价格变化前的效用水平一致,商品h的消费量还必须再增加 xk ax/Or个单位。于是,当商品k的价格上升(下降)一个单位时,为了保持消费者的效用 水平不变,商品h的消费量应该增加(减少)shk(=ox/p+xkOx/Or)个单位。这正说明 斯勒茨基系数sk表达了商品h对商品k的替代效应(如图4-2所示,图中的粗线表示价格变 化前的曲线,细线表示价格变化后的曲线,虚线表示的预算线叫做补偿预算线,它代表当价 格发生变化时,与价格变化前的效用水平相同的实际收入水平) 再从女x=(S-zx)φ+zt=Sφ+(ax/or)(d-xφ)可知,当价格向量p发生增加性变 化φ时,消费者的实际收入将减少了xφ。现在,货币收入也有一个变化如,因此实际收 入的变化为d-xφ。当d-x如=0,即d=xφ时,价格上升引起的实际收入水平的下 降正好得到了补偿,需求变动dx=Sφ保持了消费者的效用水平不变。这就进一步说明了斯 勒茨基矩阵S的替代效应意义。鉴于此,我们就称Sd为替代效应,斯勒茨基矩阵S也就叫 做替代矩阵。斯勒茨基系数Sh就是在保持效用水平不变的条件下,商品k的价格发生单位变 化所引起的商品h的需求量的变动量,故又可称为商品h对商品k的替代效应系数。为了表 达斯勒茨基系数的替代效应意义,可把S表示成 既然矿-xq表示实际收入的变动,而ax/or表示收入增加一单位所引起的商品需求量 的增加向量,因此(ax/or)d-xd)表示了实际收入变动所引起的商品需求的变动,即表示 了收入效应。鉴于此,我们就把(Ox/ar)d-xdp)称为收入效应。收入效应影响消费者的效 用水平。当d=0时,收入效应为-(ax/Or)xdp),它正表示价格变化引起实际收入水平变化 进而实际收入水平变化所引起的商品需求的变动。鉴于此,我们把pnk=- x, ax/or称为商 品h对商品k的价格变动的收入效应系数。 价格与收入的变动所引起的商品需求向量的变动dx,就是总效应。它是替代效应Sd与 收入效应(x/Or)(d-xd)之总和:dx=Sφ+(ax/r)d-x)
第四章 需求理论 64 此， hk h k k h s z x p x = − ， h h z r x = (h, k =1,2, , ) 。我们得到： ( , =1,2,, ) + = h k r x x p x s h k k h hk 其中， h pk x 表示当商品 k 的价格增加(减少)一单位而其余商品的价格保持不变时， 商品 h 的需求量的增加(减少)量； x r h 表示当消费者收入增加(减少)一个单位而商品价格 保持不变时，商品 h 的需求量的增加(减少)量。在价格体系 p 和收入水平 r 下，消费者选择 了消费向量 ( , , , ) 1 2 x = x x x 。现在，商品 k 的价格增加了一个单位而其余商品的价格不变， 这相当于消费者的实际收入减少了 k x 个单位，进而实际收入的减少引起了商品 h 的购买量减 少 x x r k h 个单位，从而消费者的效用水平必将下降。为了不让消费者的效用水平发生变 化，必须保证消费者的实际收入水平不变，即必须使所减少的这 x x r k h 个单位的商品 h 的 消费量得到补偿。这也就是说，当商品 k 的价格上升而其余商品的价格未变时，按照变化后 的价格体系，消费者将增加对商品 h 的购买量，其增加量为 h pk x 。但是，仅仅按照这个 水平来增加商品 h 的消费，由于实际收入水平的下降，消费者的效用水平要下降。如果要保 持价格变化后的效用水平同价格变化前的效用水平一致，商品 h 的消费量还必须再增加 x x r k h 个单位。于是，当商品 k 的价格上升(下降)一个单位时，为了保持消费者的效用 水平不变，商品 h 的消费量应该增加(减少) s ( x p x x r) hk = h k + k h 个单位。这正说明， 斯勒茨基系数 hk s 表达了商品 h 对商品 k 的替代效应(如图 4-2 所示，图中的粗线表示价格变 化前的曲线，细线表示价格变化后的曲线，虚线表示的预算线叫做补偿预算线，它代表当价 格发生变化时，与价格变化前的效用水平相同的实际收入水平)。 再从 dx = (S − z x) dp + z dr = Sdp + (x r)(dr − xdp) 可知，当价格向量 p 发生增加性变 化 dp 时，消费者的实际收入将减少了 xdp 。现在，货币收入也有一个变化 dr ，因此实际收 入的变化为 dr − x dp 。当 dr − x dp = 0 ，即 dr = x dp 时，价格上升引起的实际收入水平的下 降正好得到了补偿，需求变动 dx = Sdp 保持了消费者的效用水平不变。这就进一步说明了斯 勒茨基矩阵 S 的替代效应意义。鉴于此，我们就称 Sdp 为替代效应，斯勒茨基矩阵 S 也就叫 做替代矩阵。斯勒茨基系数 hk s 就是在保持效用水平不变的条件下，商品 k 的价格发生单位变 化所引起的商品 h 的需求量的变动量，故又可称为商品 h 对商品 k 的替代效应系数。为了表 达斯勒茨基系数的替代效应意义，可把 hk s 表示成： k dr xdp h k U h hk p x p x s = = = = Constant 既然 dr − x dp 表示实际收入的变动，而 x r 表示收入增加一单位所引起的商品需求量 的增加向量，因此 (x r)(dr − xdp) 表示了实际收入变动所引起的商品需求的变动，即表示 了收入效应。鉴于此，我们就把 (x r)(dr − xdp) 称为收入效应。收入效应影响消费者的效 用水平。当 dr = 0 时，收入效应为 − (x r)xdp) ，它正表示价格变化引起实际收入水平变化， 进而实际收入水平变化所引起的商品需求的变动。鉴于此，我们把 x x r hk = − k h 称为商 品 h 对商品 k 的价格变动的收入效应系数。 价格与收入的变动所引起的商品需求向量的变动 dx ，就是总效应。它是替代效应 Sdp 与 收入效应 (x r)(dr − xdp) 之总和： dx = Sdp + (x r)(dr − xdp)