P中第2行元素说明C离开系统时剩下的顾客数为1,这表明Cn1已经进入系统, 若在Cn1的服务时间内没有顾客到达(其概率为a0),则当Cn离开系统时剩下的顾客 数也就为0,这对应着矩阵的第1列;若有一个顾客到达(其概率为a1),则当C离 开系统时剩下的顾客数也就为1,对应着第2列;若有两个顾客到达(其概率为a2), 则当Cn离开系统时剩下的顾客数也就为2,对应着第3列;以此类推。 P中第3行元素说明Cn离开系统时剩下的顾客数为2,当Cn1离开系统时剩下的顾 客数不可能是0(即j不可能取0),这对应着矩阵的第1列;若在Cn1的服务时间内没 有顾客到达(其概率为a0),则当Cn离开系统时剩下的顾客数为1,这对应着矩阵的 第2列;若有一个顾客到达(其概率为a1),则当Cn离开系统时剩下的顾客数为2, 对应着第3列;若有两个顾客到达(其概率为a,),则当C离开系统时剩下的顾客数 为3,对应着第4列;以此类推。 P中第4行及其以下各行元素按照上面分析方法类推,就得转移概率矩阵P 与转移概率矩阵P相对应的状态转移率图,如图4.1所示。 C 图41M/G/1嵌入马尔柯夫链的状态转移图 为了求得P,只需要求出a4,现在我们来推导ak的表达式。 首先注意到,Cn1的服务时间x1仅决定于服务时间分布密度b(x),而与n无关, 故我们可以把服务时间xn记为,它是一个连续型随机变量。把在服务时间内到达的 顾客数vn1记为v,而求ak=P[v=k]。 令=k这一事件为A,而把发生这一事件的条件ⅹ=x记为B,根据全概率定律: P(A)=P(AB)+ P(AB,)+ (44) 由于服务时间x可以为任意值,事件B有无穷多个,并且x为连续变量,故(44) 式将成为一个积分表达式:
513 P 中第 2 行元素说明Cn 离开系统时剩下的顾客数为 1，这表明Cn1已经进入系统， 若在Cn1的服务时间内没有顾客到达（其概率为0 ），则当Cn1离开系统时剩下的顾客 数也就为 0，这对应着矩阵的第 1 列；若有一个顾客到达（其概率为1 ），则当Cn1离 开系统时剩下的顾客数也就为 1，对应着第 2 列；若有两个顾客到达（其概率为 2）， 则当Cn1离开系统时剩下的顾客数也就为 2，对应着第 3 列；以此类推。 P 中第 3 行元素说明Cn 离开系统时剩下的顾客数为 2，当Cn1离开系统时剩下的顾 客数不可能是 0（即 j 不可能取 0），这对应着矩阵的第 1 列；若在Cn1的服务时间内没 有顾客到达（其概率为0 ），则当Cn1离开系统时剩下的顾客数为 1，这对应着矩阵的 第 2 列；若有一个顾客到达（其概率为1 ），则当Cn1离开系统时剩下的顾客数为 2， 对应着第 3 列；若有两个顾客到达（其概率为 2），则当Cn1离开系统时剩下的顾客数 为 3，对应着第 4 列；以此类推。 P 中第 4 行及其以下各行元素按照上面分析方法类推，就得转移概率矩阵 P 。 与转移概率矩阵 P 相对应的状态转移率图，如图 4.1 所示。 0 0 0 0 1 1 ji1 2 2 2 3 图 4.1 M / G /1嵌入马尔柯夫链的状态转移图 为了求得 pij ，只需要求出 k ，现在我们来推导 k 的表达式。 首先注意到，Cn1的服务时间 n 1 x 仅决定于服务时间分布密度b(x)，而与n 无关， 故我们可以把服务时间 n 1 x 记为 x ~ ，它是一个连续型随机变量。把在服务时间内到达的 顾客数 n 1 v 记为v ~ ，而求 ] ~ P[v k k 。 令v k ~ 这一事件为 A，而把发生这一事件的条件 x x ~ 记为 B ，根据全概率定律： P(A) P(AB1 ) P(AB2 ) （4.4） 由于服务时间 x 可以为任意值，事件 Bi有无穷多个，并且 x 为连续变量，故（4.4） 式将成为一个积分表达式：
P(4)=P(4B X P(=k)=LP=k, x=x)dx (4.5) 再根据条件概率公式 P(AB)=P(AB)P(B) (46) 并注意到 P(B)=P(=x)=b(x)dx 其中b(x)为服务时间的概率分布密度函数 故(45)式成为 P(=k)=P(v=kF=x)b(x)dx (48) 上式中P[=kx=x]的含义是在时间x内到达k个顾客的概率。由于到达过程是 泊松过程,在时间内到达k个顾客的概率为:(mpc 故(48)式成为: 下=-(“k (4.9) 只要给定了b(x)的具体形式,a4就可以由(49)式求得 43系统平均顾客数 排队系统中的平均顾客数是排队论要研究的主要问题之一,这一节我们将推导 M/G/系统在平衡状态下的平均顾客数的计算公式。 我们知道,qn代表第n个顾客离开系统时系统中的顾客数,而qn代表第n+1个顾 客离开系统时系统中的顾客数,我们来看一看两个量之间的关系 我们分qn>0和qn=0两种情况来进行分析,并采用时间图来表示系统中顾客数的 变化情况 514
514 0 P(A) P(AB )dx i 或 0 ) ~, ~ ) ( ~ P(v k P v k x x dx （4.5） 再根据条件概率公式： P AB P A B P B ( ) ( )() （4.6） 并注意到 P B P x x) b(x)dx ~ ( ) ( （4.7） 其中b(x)为服务时间的概率分布密度函数。 故（4.5）式成为： P v k P v k x x)b(x)dx ~ ~ ) ( ~( 0 （4.8） 上式中 ] ~ ~ P[v k x x 的含义是在时间 x 内到达k 个顾客的概率。由于到达过程是 泊松过程，在时间t 内到达k 个顾客的概率为： ( ) ! k t t e k 故（4.8）式成为： b x dx k x e P v k k x k 0 ! ~ （4.9） 只要给定了b(x)的具体形式， k 就可以由（4.9）式求得。 4.3 系统平均顾客数 排队系统中的平均顾客数是排队论要研究的主要问题之一，这一节我们将推导 M / G /1系统在平衡状态下的平均顾客数的计算公式。 我们知道，qn 代表第n 个顾客离开系统时系统中的顾客数，而qn1代表第n 1个顾 客离开系统时系统中的顾客数，我们来看一看两个量之间的关系。 我们分qn 0和qn 0两种情况来进行分析，并采用时间图来表示系统中顾客数的 变化情况。 （1）qn 0