221关系的数学定义 1.域( Domain) 域是一组具有相同数据类型的值的集合,又称为值域 (用D表示)。例如整数}{男,女}{10,100, 1000}等都可以是域。域中所包含值的个数称为域的 基数(用m表示)。在关系中就是用域来表示属性的 取值范围。例如,有下列集合: D1={赵敏,钱锐,孙阳,李丽},表示姓名的集合,其基 数为4 D2={男,女},表示性别的集合,其基数为2; D3={专科,本科,硕研,博研},表示学历的集合,其基 数为4 2.笛卡尔积( Cartesian Product)
2.2.1 关系的数学定义 1．域（Domain） 域是一组具有相同数据类型的值的集合，又称为值域 （用D表示）。例如{整数}、{男，女}、{10，100， 1000}等都可以是域。域中所包含值的个数称为域的 基数（用m表示）。在关系中就是用域来表示属性的 取值范围。例如，有下列集合： D1={赵敏，钱锐，孙阳，李丽}，表示姓名的集合，其基 数为4； D2={男，女}，表示性别的集合，其基数为2； D3={专科，本科，硕研，博研}，表示学历的集合，其基 数为4； 2．笛卡尔积（Cartesian Product）
221关系的数学定义 2.笛卡尔积( Cartesian Product) 笛卡尔积是域上的一种集合运算。假定一组域D1,D2,…,Dn,这 些域可以完全不同,也可以部分或全部相同(包含相同的元素), 则D1,D2,…,Dn的笛卡尔积定义为: D1×D2××Dn={(1,d2,…,dn)di∈Di,i=1,2,…,n 由定义可以看出,笛卡尔积也是一个集合。其中: (1)每一个元素(d1,d2,…,dn)叫做一个n元组( n-tuple),或 简称为元组( Tuple)。但元组不是d的集合(集合中元素之间是无 序的),而是由d按序排列而成; (2)元素中的每一个值d叫做一个分量( Component),分量di必须 是对应域D中的一个值 (3)若Di(=1,2,,n)为有限集,其基数( Cardinal number 为m(i=1,2,,n),则D1×D2×.×Dn的基数为n个域的基 数累乘之积。笛卡尔积基数的运算表达式为 M=∏n (4)笛卡尔积可表示为一个二维表。表中每行对应一个元组,表中每 列对应一个域
2.2.1 关系的数学定义 2．笛卡尔积（Cartesian Product） 笛卡尔积是域上的一种集合运算。假定一组域D1，D2，…，Dn，这 些域可以完全不同，也可以部分或全部相同（包含相同的元素）， 则D1，D2，…，Dn的笛卡尔积定义为： D1×D2×…×Dn =｛(d1，d2，…，dn)|di∈Di，i=1，2，…，n｝ 由定义可以看出，笛卡尔积也是一个集合。其中： （1）每一个元素（d1，d2，…，dn）叫做一个n元组（n-tuple），或 简称为元组（Tuple）。但元组不是di的集合（集合中元素之间是无 序的），而是由di按序排列而成； （2）元素中的每一个值di叫做一个分量（Component），分量di必须 是对应域Di中的一个值； （3）若Di（i=1，2，…，n）为有限集，其基数（Cardinal number） 为mi（i=1，2，…，n），则D1×D2×…×Dn的基数为n个域的基 数累乘之积。笛卡尔积基数的运算表达式为： M= （4）笛卡尔积可表示为一个二维表。表中每行对应一个元组，表中每 列对应一个域。 = n i mi 1
221关系的数学定义 【例2-1】设有域D1={赵敏,钱锐,孙阳,李丽},D2={男,女 D3=(专科,本科,桢研,博研},则D1×D2×.×D的笛卡尔积共 有32个元组,元组如表21所示 表2-1D1×D2×.×Dn的笛卡尔积 D1 D2 D3 D1 D2 D3 DI D2 D3 DI D2 D3 赵敏男专科|钱锐|男专科|孙阳男专科|李丽|男|专科 赵敏男本科钱锐|男|本科|孙阳|男|本科|李丽|男|本科 赵敏男硕硏钱锐男硕研|孙阳男硕硏|李丽丨男「硕研 赵敏男博研钱锐丨男博研丨孙阳丨男「博研丨李丽丨男丨博研 赵敏女专科|钱锐女专科孙阳女专科李丽女专科 赵敏女本科钱锐女本科|孙阳女|本科|李丽|女|本科 赵敏女硕硏钱锐女硕研|孙阳|女硕硏|李丽女‖硕研 赵敏女博研|钱锐|女博研|孙阳女博研|李丽丨女博研
2.2.1 关系的数学定义 【例2-1】 设有域D1={赵敏，钱锐，孙阳，李丽}，D2={男，女}， D3={专科，本科，硕研，博研}，则D1×D2×…×Dn的笛卡尔积共 有32个元组，元组如表2-1所示。 表2-1 D1×D2×…×Dn的笛卡尔积 D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 D1 D2 D3 赵敏 男 专科 钱锐 男 专科 孙阳 男 专科 李丽 男 专科 赵敏 男 本科 钱锐 男 本科 孙阳 男 本科 李丽 男 本科 赵敏 男 硕研 钱锐 男 硕研 孙阳 男 硕研 李丽 男 硕研 赵敏 男 博研 钱锐 男 博研 孙阳 男 博研 李丽 男 博研 赵敏 女 专科 钱锐 女 专科 孙阳 女 专科 李丽 女 专科 赵敏 女 本科 钱锐 女 本科 孙阳 女 本科 李丽 女 本科 赵敏 女 硕研 钱锐 女 硕研 孙阳 女 硕研 李丽 女 硕研 赵敏 女 博研 钱锐 女 博研 孙阳 女 博研 李丽 女 博研
221关系的数学定义 3.关系( Relation) 从表21中看出,笛卡尔积中许多元组无实际意义,在实际中,应该 取消这些无实际意义的元组,而从笛卡尔积中取出有实际意义的元组 使构成了关系 ●D1×D2×.×Dn的任一有意义的子集称为域D1,D2,…,Dn上的关 系,用R(D1,D2,D)表示 ●其中,R表示关系名,n表示关系的度或目,D是域组中的第个域名 当n=1时,表示该关系为单元关系或一元关系;当n=2时,称为关系 为二元关系;依此类推,关系中有n个域,称该关系为n元关系。关系 中的每个元素是关系中的元组,通常用t表示,t∈R表示是R中的元 组 从值域的角度来定义关系,关系就是值域笛卡尔积的一个子集,也是 维表,表的每行对应一个元组,表的每列对应一个域。由于域 可以相同,为了加以区分,在同一关系中,必须对每列起一个唯一的 名字,称为属性( Attribute)。n目关系必有n个属性。 在例2-1所示的笛卡尔积(D1xD2xD3)中,对于每个人来说,性别 只有一种,最高学历也有一个,因而尽存在四个元组,其它元组没有 实际意义, 角的关系如表22所示
2.2.1 关系的数学定义 3．关系（Relation） ⚫ 从表2-1中看出，笛卡尔积中许多元组无实际意义，在实际中，应该 取消这些无实际意义的元组，而从笛卡尔积中取出有实际意义的元组 便构成了关系。 ⚫ D1D2…Dn的任一有意义的子集称为域D1，D2，…，Dn上的关 系，用R(D1,D2,…,Dn)表示。 ⚫ 其中，R表示关系名，n表示关系的度或目，Di是域组中的第i个域名。 当n=1时，表示该关系为单元关系或一元关系；当n=2时，称为关系 为二元关系；依此类推，关系中有n个域，称该关系为n元关系。关系 中的每个元素是关系中的元组，通常用t表示，t∈R表示t是R中的元 组。 ⚫ 从值域的角度来定义关系，关系就是值域笛卡尔积的一个子集，也是 一个二维表，表的每行对应一个元组，表的每列对应一个域。由于域 可以相同，为了加以区分，在同一关系中，必须对每列起一个唯一的 名字，称为属性（Attribute）。n目关系必有n个属性。 ⚫ 在例2-1所示的笛卡尔积（D1D2D3）中，对于每个人来说，性别 只有一种，最高学历也有一个，因而只存在四个元组，其它元组没有 实际意义，一个实用的关系如表2-2所示
221关系的数学定义 表22D1×D2×Dn的关系 DI D2 D3 DI D2 D3 赵敏女专科钱锐男本科 孙阳男硕研李丽女博研 任何一个关系都具备以下特性: (1)关系中每一属性分量必须取原子值,即每个分量必须是不可再分的数据项; (2)关系中每一列各个分量是同一数据类型,来自同一域,即列是同质的; (3)不同属性应给予不同的属性名; (4)关系中的任意两个元组不能完全相同; (5)关系中行的顺序、列的顺序可以任意互换,不会改变关系的意义
2.2.1 关系的数学定义 任何一个关系都具备以下特性： （1）关系中每一属性分量必须取原子值，即每个分量必须是不可再分的数据项； （2）关系中每一列各个分量是同一数据类型，来自同一域，即列是同质的； （3）不同属性应给予不同的属性名； （4）关系中的任意两个元组不能完全相同； （5）关系中行的顺序、列的顺序可以任意互换，不会改变关系的意义。 D1 D2 D3 D1 D2 D3 赵敏 女 专科 钱锐 男 本科 孙阳 男 硕研 李丽 女 博研 表2-2 D1×D2×…×Dn的关系