2.2二叉树 定义 定义:二叉树是n(n0)个结点的有限集,它或为空树(n=0) 或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的 二叉树构成 特点 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) 二叉树的子树有左、右之分,且其次序不能任意颠倒 基本形态 A ①(A A B B B 空一又树)只有根结点右子树为空左子树为空 左、右子树 的二叉树 均非空
12.2 二叉树 定义 定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)， 或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的 二叉树构成 特点 ◼ 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) ◼ 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 基本形态 A 只有根结点 的二叉树 空二叉树 A B 右子树为空 A B 左子树为空 A B C 左、右子树 均非空
二叉树性质 性质1:在二叉树的第层上至多有2个结点(i≥1) 证明:用归纳法证明之 ①i=1时,只有一个根结点2=20=1是对的 ②假设对所有j(1」)命题成立,即第层上至多有2个结点 那么,第1层至多有21-2个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第层上最大结点数是第i-1层的2倍,即2.2-2=2 故命题得证 性质2:深度为k的二叉树至多有2-个结点(k≥1) 证明:由性质1,可得深度为k的二叉树最大结点数是 ∑(第/层的最大结点数)=∑2=2-1 =
二叉树性质 性质1： 2 ( 1) 1 − i i 在二叉树的第 层上至多有 i 个结点 证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1j<i)命题成立，即第j层上至多有 个结点 那么，第i-1层至多有 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即 故命题得证 2 2 1 1 0 = = i− 1 2 j− 2 2 i− 2 1 2 2 2 − − = i i 性质2：深度为k的二叉树至多有 2 −1 个结点(k1) k 证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是 ( ) 2 2 1 1 1 1 = = − = = − k k i k i i 第i层的最大结点数
性质3:对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数为n, 度为2的结点数为m,则no=n+1 证明:n为二叉树T中度为1的结点数 因为:二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以:其结点总数n=no+n1+n2 又二叉树中,除根结点外,其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数,则n=B+1 又:分支由度为1和度为2的结点射出,∴B=n1+2n 于是,n=B+1=n+2n+1-no+n+n2 ∵nO=n2+1
性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0， 度为2的结点数为n2，则n0=n2+1 证明：n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1
几种特殊形式的二叉树 满二叉树 定义:一棵深度为且有2k-1个结点的二叉树称为 特点:每一层上的结点数都是最大结点数 完全二叉树 定义:深度为k,有n个结点的二叉树当且仅当其每 个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结 点一一对应时,称为 特点 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 对任一结点,若其右分支下子孙的最大层次为L, 则其左分支下子孙的最大层次必为L或L+1
几种特殊形式的二叉树 满二叉树 ◼ 定义： 一棵深度为 且有2 −1个结点的二叉树称为~ k k 特点：每一层上的结点数都是最大结点数 完全二叉树 定义：深度为k，有n个结点的二叉树当且仅当其每 一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结 点一一对应时，称为~ 特点 叶子结点只可能在层次最大的两层上出现 对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为L， 则其左分支下子孙的最大层次必为L 或L+1
2 2 4 8)(9)(10 4)(15 2 4 (0① 6
1 2 3 11 4 5 8 9 12 13 6 7 10 14 15 1 2 3 11 4 5 8 9 12 6 7 10 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6