小,而点1、点4为局部极小或称相对极小。它只表示和这些点的 附近邻点相比较,它们的函数值是极小的。但是从区间[a,b]全 局来看,点1和点4就不是极小了。同理图2-2中,点2和点5 为函数f(x)在区间[a,b]内的相对极大点,而点3和点7则称 为拐点。 在极值点处的函数具有以下性质: 如果f(x)在[a,b内处处有一阶导数∫'(x)(即有切线), 则极值存在的必要条件为: "(x)=0 (2-1) 由(2-1)式解所得的点称为驻点,在驻点上,f(x)的切线与x 轴平行。但是驻点不一定是极值点,(其中还包括拐点),极值点一 定是驻点。图2-2巾1,2,3,4,5,6,7均为驻点,其中拐 点3和7不是极值点。 因此,要用充分条件来检验驻点是不是极值点以及极值点是极 大点还是极小点。 一元函数极值的充分条件为: df dx >0,x为∫(x)极小点 (2—2) dx21<0,x“为f(x)极大点。 下面我们来看二维变量即二元函数的情况,从二元函数的极值 的充分必要条件可以很快推导出多元函数(n维变量)的极值条 件。 27
图2-3表示二元函数的等 高线f(x1,x2)=c,显见这是 f(x:,x2)=c 单峰函数,其极小点就是全局极 小,位于原点。(极小点实际上 极小点 是谷点而不是峰点)。 图2一4表示多峰二元函 数,对点1说,f1(x1,x2) 2000是全局极小,而对点2说, ∫2(x1,x2)=1000是局部极小。 二元单峰函数 点3称为鞍点,鞍点的几何解释 图2-3 f2=100 1,f1=20 二元多峰函数 1(*1,x)=2000 ∫2、*1,斯2)=t000 图2-4 如图2-5(单变量函数中的拐点与鞍点类似)。 和一元函数类似,如果在二元函数f(x1,x2)的极值点作函 数曲面的切平面,必与x1x2平面平行。假设∫(x1,x:)的一阶 偏导数都存在,且函数连续,则极值点的必要条件为: af(xu x2) ax f1(x1,x2)=0 或记作 (2-3) afc 0 ∫2(x1,x2)=0
满足上述条件的点为驻点。 (2-3)式也可写成梯度形式 Vf(x1,x2)=0 式中梯度向量: 点 Vf(x1,x2)= a1 己x 例]f(x1,x2)=x2-x12. 驻点条件为: ax 1=0 af ax2 0 即原点(0,0)为驻点,在 该点附近,∫(x1,x2)形似马 小点 鞍,故称为鞍点,显见它不是极 大点 值点(如图2-6所示)。 f(x1,x2) f(X) ∫(x)≈一2的鞍点 鞍点的几何解释 图2--6 图2-5
检验二元函数极值的充分条件可如下导得 对图2—7所示单变量函数,在极值点x*附近展开成泰勒级 数,取三项得; ∫(x)=f(x*)+ df.△x x 2 (△x)2(2-5) 式中 △ 式(2-5)称为函数f(x)的二次近似 xx*+△X 展开式。 元数最优点x及其 同理,图2-8所示二元的数也可 邻近点x*+△x 以用向量形式表示其二次近似泰勒展开 图2一7 式 〈X*+△X)一 f(X*) 2 I-+Ax 元函数最优点的几何表示 2-8
f(X)=f(X*)+[Vf(XJx.AX 2(△x)V2f(X)]x△X+0(E) (2-6) 式中 ∫(X)=∫(x1,x2) Y=X+△X X △ △X △x V∫(X af f af aX 0. ax,2 axa V2f(X) aX x10 A=V2f(X)x=x·是二阶偏导数矩阵,是2×2对称阵。称 为 Hesse矩阵。 0(e)为高阶无穷小。 式(2-6)的展开形式为: f(x1,x2)=f(x:*,x2*)+ af x △x1+af△ 2 x △x12+2 xIde △x1△ x △x (2-7) X=X*时,V/(X)x=0,由(2-6)式可得 31