图3.5E到达间隔时间分布相位分解 图35中表明,当某一顾客处于相位i时,表明该顾客已通过了i-1级到达装置 3.3M/E,八排队模型 如果排队系统的顾客到达间隔时间X为负指数分布(即顾客到达过程为泊松过 程),服务时间T为r阶爱尔郎分布,即 ≥0 b(0=ru(ru)"ru t≥0 (-1 则称这个排队系统为M/E1/1排队系统。 系统服务时间分布为r阶爱尔郎分布(参数为r),其系统服务时间的数学期望和 方差: E[]=1,Dm= r 根据上节的讨论知道,爱尔郎服务装置实际上是负指数服务装置的串联形式,即r阶 爱尔郎服务时间分布可以分解为r级负指数服务时间分布。同时,我们知道,描述这个 排队系统的马尔柯夫过程的随机变量是一个二维离散变量。该随机变量的状态值EA必 须同时说明系统中的顾客数k,以及正在接受服务的顾客现在所处服务装置的级数j。 与此相对应,描述系统状态的概率分布函数也必须是一个二维分布P,,这就使得分析 和计算变得比较复杂。 现在我们设法把这个二维随机变量变换为一维随机变量。我们以系统中顾客需要经 过的服务装置级数的总和作为随机变量。也就是说,假定系统中有k个顾客,我们就把 要完成这k个顾客的服务所需级数的总数作为随机变量。每当一个新的顾客到达,总级 数就增加r,而每完成一级服务,总级数就减少1。注意,在任何时候,r级服务装置中 最多有一级在工作。 假定在某个时刻,系统中有k个顾客,并且这时第i级服务装置正准备对某一顾客 进行服务。若令j为系统中未完成的总级数,则在系统中顾客数非零的前提下,有 j=(k-1)+[-(-1)=(k-1)y+(-i+1)=rk-i+1 我们用小写的Pk代表系统中有k个顾客的概率,而用大写的P代表系统中未完成
490 图 3.5 Er 到达间隔时间分布相位分解 图 3.5 中表明，当某一顾客处于相位i 时，表明该顾客已通过了i 1级到达装置。 3.3 M / E / 1 r 排队模型 如果排队系统的顾客到达间隔时间 X 为负指数分布（即顾客到达过程为泊松过 程），服务时间T 为r 阶爱尔郎分布，即 0 1 0 1 t r ! r r t e b t a x e x r r t r x （3.2） 则称这个排队系统为 / /1 M Er 排队系统。 系统服务时间分布为r 阶爱尔郎分布（参数为r ），其系统服务时间的数学期望和 方差： 1 E T ， 2 1 D T r 根据上节的讨论知道，爱尔郎服务装置实际上是负指数服务装置的串联形式，即r 阶 爱尔郎服务时间分布可以分解为r 级负指数服务时间分布。同时，我们知道，描述这个 排队系统的马尔柯夫过程的随机变量是一个二维离散变量。该随机变量的状态值 Ek , j 必 须同时说明系统中的顾客数k ，以及正在接受服务的顾客现在所处服务装置的级数 j 。 与此相对应，描述系统状态的概率分布函数也必须是一个二维分布 Pk , j ，这就使得分析 和计算变得比较复杂。 现在我们设法把这个二维随机变量变换为一维随机变量。我们以系统中顾客需要经 过的服务装置级数的总和作为随机变量。也就是说，假定系统中有k 个顾客，我们就把 要完成这k 个顾客的服务所需级数的总数作为随机变量。每当一个新的顾客到达，总级 数就增加r ，而每完成一级服务，总级数就减少 1。注意，在任何时候，r 级服务装置中 最多有一级在工作。 假定在某个时刻，系统中有k 个顾客，并且这时第i 级服务装置正准备对某一顾客 进行服务。若令 j 为系统中未完成的总级数，则在系统中顾客数非零的前提下，有 j k 1 r r i 1 k 1 r r i 1 rk i 1 我们用小写的 k p 代表系统中有k 个顾客的概率，而用大写的 Pj 代表系统中未完成
的总级数为j的概率,即定义 P=原统中有级未完成] 系统中有k个顾客等效于,某一顾客走完系统中kr级服务装置中的r级服务装置 即,Pk与P1之间的关系为: P P k j=(k-1)r+1 而当k=0时,对应于系统服务装置的级数j=0,此时P=P。 为了求P,现在我们来考虑状态转移率图。由于系统的状恋巳经不是顾客数,而是 未完成的服务级总数,故状态转移率图应该反映级数的变化和转移。如图136所示。 图3.6服务级数的状态转移率图 每个顾客以到达率λ进入系统,并使级数增加r级,这对应着图上部的转移;每个 顾客以服务率r完成一级服务,并使级数减少一级,这对应着图下部的转移。 由图知,对状态j,进入它的箭头有两个:一个来自左移r个位置的状态j-r,这 是由新到达一个顾客所引起r个级数的增加。另一个来自状态j+1,这是由于一个服务 装置服务结束所导致的状态变化。 显然,若j<0,则P=0 可以证明,在此种情况下,系统服务装置级数随时间变化的过程可化为一个离散状 态空间连续时间参数的马尔柯夫过程(但化不成生灭过程)。当一<1时,平稳分布存在 这时可根据状态转移率图,并考虑到统计平衡条件下,任一状态的流出应与流入相等, 于是可以写出平衡方程 APo=ruP (3.3) (a+ru)p=aP-+ruP I j=1,2, (3.4) (34)式是左端是流出的,右端是流进的。它是一个差分方程,我们可以采用z变
491 的总级数为 j 的概率，即定义： Pj P 系统中有 j级未完成 系统中有k 个顾客等效于，某一顾客走完系统中kr 级服务装置中的r 级服务装置， 即， k p 与 Pj 之间的关系为： kr j k r p k Pj 1 1 k 1,2, 而当k 0 时，对应于系统服务装置的级数 j 0 ，此时 0 0 p P 。 为了求 Pj ，现在我们来考虑状态转移率图。由于系统的状态已经不是顾客数，而是 未完成的服务级总数，故状态转移率图应该反映级数的变化和转移。如图 13.6 所示。 0 1 2 r r+1 r j j+1 j-r r r r 图 3.6 服务级数的状态转移率图 每个顾客以到达率 进入系统，并使级数增加r 级，这对应着图上部的转移；每个 顾客以服务率r 完成一级服务，并使级数减少一级，这对应着图下部的转移。 由图知，对状态 j ，进入它的箭头有两个：一个来自左移r 个位置的状态 j r ，这 是由新到达一个顾客所引起r 个级数的增加。另一个来自状态 j 1，这是由于一个服务 装置服务结束所导致的状态变化。 显然，若 j 0 ，则 0 Pj 。 可以证明，在此种情况下，系统服务装置级数随时间变化的过程可化为一个离散状 态空间连续时间参数的马尔柯夫过程（但化不成生灭过程）。当 1 时，平稳分布存在。 这时可根据状态转移率图，并考虑到统计平衡条件下，任一状态的流出应与流入相等， 于是可以写出平衡方程 0 P1 P r （3.3） j jr Pj1 r P P r j 1,2, （3.4） （3.4）式是左端是流出的，右端是流进的。它是一个差分方程，我们可以采用 z 变
换(概率母函数法)来求它的解。 首先定义一个单边二变换 P()=∑P 注意到(34)式仅对j≥1适用,我们在其两端取和式: ∑(+p)P==∑ 改写上式,得 ( P P|=2z P 注意到 (1)∑P=1=P() (2)∑P-=∑P-==∑P=P()(∵P-=0,j<r) (3)∑P=∑P=++P=-P-P ∑Pn=--F=P(z)-P- 故(36)式可写为 (+r)P()-]=P()+[P(-)-P- 在上式中应用(133)式进行简化,最后可得 Pol2+rA B(--) A+r-在 上式中还有一个未知数P,现在来求这个值 根据z变换的定义(35)式可知 价=∑P 在(37)式中令z=1,就可求得P,但要注意到,直接将z=1代入(37)式的右
492 换（概率母函数法）来求它的解。 首先定义一个单边 z 变换： j j j P z P z 0 （3.5） 注意到（3.4）式仅对 j 1适用，我们在其两端取和式： j j j j j r j j j j r P z P z r P z 1 1 1 1 改写上式，得 1 1 1 0 1 0 j j j j r j j r r j j j P z z r r P z P z P z （3.6） 注意到： （1） P z P z j j j 0 （2） P z P z Pz P z i i i j r j r j r j r j j r 1 0 ( 0 Pj r ， j r ) （3） 1 1 1 1 01 01 1 1 j j j j j j P z P z P Pz P Pz P z P P z P Z P P z n n n 0 1 0 1 0 故（3.6）式可写为： P z P P z z r r P z P z P z r 0 0 1 在上式中应用（13.3）式进行简化，最后可得 r z r z r P z z r r z r P z r P r P z r r 1 0 0 1 1 （3.7） 上式中还有一个未知数 P0，现在来求这个值。 根据 z 变换的定义（3.5）式可知 1 1 0 j P Pj 在（3.7）式中令 z 1，就可求得 P0，但要注意到，直接将 z 1代入（3.7）式的右